суббота, 26 ноября 2011 г.

Как быстро выучить таблицу умножения

Как быстро выучить таблицу умножения

Как быстро выучить таблицу умножения Как быстро выучить таблицу умножения
На летних каникулах очень удобно учить таблицу умножения. Простые и логичные правила помогут вашему ребенку понять и надолго запомнить результат.
Родители школьников часто задаются вопросом: Как быстро и легко выучить таблицу умножения? Люди изучают таблицу по разным причинам, но чаще всего просто потому, что требуется для школы. А зачем это требуется?
Таблицу умножения используют:
  • Чтобы проводить вычисления с многозначными числами в уме или на бумаге без калькулятора. Пример: чтобы умножить 42*78, надо использовать четыре "факта" из таблицы умножения, плюс знание десятичной системы
  • Чтобы видеть глубокие связи в математике и развивать свою "математическую интуицию"


К обеим целям (но на гораздо более высоком их уровне, чем позволяет традиционное вызубривание таблицы) можно прийти приятными, математически интересными и педагогически обоснованными "дорогами". Скорость этого путешествия лучше, конечно, выбирать индивидуально. "Четыре дня" из содержания - это примерная оценка, рассчитанная по следующим условиям:
  • Ученик понимает количественные отношения в пределах первых двух сотен, умеет складывать и вычитать, и понимает, что такое умножение (например, видит 3*4 как три группы по четыре предмета), но не помнит таблицу наизусть
  • Дети играют с ментором индивидуально или в маленьких группах
  • Все ученики заинтересованы в изучении этой темы
Если дети еще не знают, что такое умножение, или только учатся оперировать большими числами, наши материалы можно использовать, но подход и скорость лучше модифицировать.
Из сотен существующих трюков и методов, связанных с таблицей умножения, мы выбирали по двум критериям. 1 - трюк короткий, не больше двух шагов (из-за этого, например, отсеялась система Трахенберга); и 2 - для трюка существует математически доступное объяснение-доказательство. То, что осталось в результате, легко запомнить, легко понять, и легко использовать!
Задачки рассчитаны на обсуждение с ментором или с другими учениками и с ментором, скорее чем на самостоятельное решение. Они могут привести к довольно продвинутой математике, которую ученик сам может или не заметить, или не суметь оформить в словах.

День 1

Начинаем учить таблицу умножения. Бесплатные клетки ...и остается 36 примеров!

Вот обычная таблица умножения для целых чисел от нуля до десяти:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1*1=1 1*2=2 1*3=3 1*4=4 1*5=5 1*6=6 1*7=7  1*8=8 1*9=9 1*10=10
2 2*1=2 2*2=4  2*3=6  2*4=8 2*5=10 2*6=12 2*7=14 2*8=16 2*9=18 2*10=20
3 3*1=3 3*2=6 3*3=9  3*4=12 3*5=15  3*6=18 3*7=21  3*8=24 3*9=27 3*10=30
4 4*1=4 4*2=8 4*3=12 4*4=16  4*5=20 4*6=24 4*7=28 4*8=32 4*9=36  4*10=40
5 5*1=5 5*2=10 5*3=15  5*4=20  5*5=25  5*6=30  5*7=35 5*8=40 5*9=45 5*10=50
6 6*1=6 6*2=12 6*3=18 6*4=24 6*5=30 6*6=36 6*7=42 6*8=48 6*9=54 6*10=60
7 7*1=7 7*2=14 7*3=21 7*4=28 7*5=35 7*6=42 7*7=49 7*8=56 7*9=63 7*10=70
8 8*1=8 8*2=16 8*3=24 8*4=32 8*5=40 8*6=48 8*7=56 8*8=64 8*9=72 8*10=80
9 9*1=9 9*2=18  9*3=27  9*4=36 9*5=45 9*6=54 9*7=63 9*8=72 9*9=81 9*10=90
10 10*1=10 10*2=20  10*3=30  10*4=40  10*5=50  10*6=60  10*7=70  10*8=80  10*9=90  10*10=100
Для выучивания наизусть выглядит страшновато. Сто отдельных фактов! Зубрить их так долго и скучно... А на самом деле, сколько фактов надо запомнить, чтобы знать всю эту таблицу? Не сто, это точно. Внимательно и долго, пока не надоест, изучайте таблицу, и вы найдете множество интересных идей для трюков и методов быстрого запоминания.
Задача 0. Изучив таблицу, найдите как можно больше способов научиться использовать факты из нее без зубрежки. Многие математики, и не только они, работали над нахождением таких методов, так что на самом деле зубрить придется гораздо меньше, чем сто фактов. А сколько, по вашим оценкам? Запомните свой ответ...
Начинаем внимательно смотреть, и видим, что таблица симметричная. Ведь 4*8=8*4, a 9*6=6*9, и так далее. Чтобы все не перечислять, запишем это наблюдение словами:
Если одно число умножить на второе, то ответ такой же, как если второе число умножить на первое.
То есть часть таблицы нам дается совершенно бесплатно! А какая часть? Если сказали "половина", почти угадали. На самом деле симметрия нам дает 45 бесплатных "фактов".
Задача 1. Почему именно 45? Найдите 3 разных способа подсчета. Сколько "бесплатных" фактов даст симметрия таблицы умножения до 20*20? До 30*30?
Есть еще два числа, на которые умножать очень легко. Это 1 и 10.
Задача 2. Почему умножать на 1 легко, понятно, правда? А почему так просто умножать на 10? Подказка - подумайте о других системах счисления, например, шестнадцатиричной.
Вычеркнем и умножение на эти числа из списка тех, что надо вызубрить. На таблице эти "бесплатные" факты теперь показаны очень светлым серым. И вот что останется:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1*1=1 1*2=2 1*3=3 1*4=4 1*5=5 1*6=6 1*7=7  1*8=8 1*9=9 1*10=10
2 2*1=2 2*2=4  2*3=6  2*4=8 2*5=10 2*6=12 2*7=14 2*8=16 2*9=18 2*10=20
3 3*1=3 3*2=6 3*3=9  3*4=12 3*5=15  3*6=18 3*7=21  3*8=24 3*9=27 3*10=30
4 4*1=4 4*2=8 4*3=12 4*4=16  4*5=20 4*6=24 4*7=28 4*8=32 4*9=36  4*10=40
5 5*1=5 5*2=10 5*3=15  5*4=20  5*5=25  5*6=30  5*7=35 5*8=40 5*9=45 5*10=50
6 6*1=6 6*2=12 6*3=18 6*4=24 6*5=30 6*6=36 6*7=42 6*8=48 6*9=54 6*10=60
7 7*1=7 7*2=14 7*3=21 7*4=28 7*5=35 7*6=42 7*7=49 7*8=56 7*9=63 7*10=70
8 8*1=8 8*2=16 8*3=24 8*4=32 8*5=40 8*6=48 8*7=56 8*8=64 8*9=72 8*10=80
9 9*1=9 9*2=18  9*3=27  9*4=36 9*5=45 9*6=54 9*7=63 9*8=72 9*9=81 9*10=90
10 10*1=10 10*2=20  10*3=30  10*4=40  10*5=50  10*6=60  10*7=70  10*8=80
 		 10*9=90  10*10=100
В конце первого дня одним из методов из Задачи 1 подсчитываем, сколько нам осталось выучить фактов. Ну что, уже не так страшно? Тогда ждем следующего дня умножения!

День 2

Дважды два - четыре ...и остается 21 факт!

Удваивать легко. Ученые даже считают, что удваивание "запрограммированно" в мозгу человека (и некоторых животных), наравне с различением понятий "большой - маленький" или "один-много". Малыши учаться удваивать, деля конфеты на двоих, считая туфельки и перчатки, рассматривая предметы в зеркале... Чтобы умножить на два - сложите число с самим собой! А чтобы умножить на четыре? Умножить на четыре - это все равно что умножить на два два раза. То есть для уножения на четыре, удваиваем число (это легко), а потом удваиваем результат.
Задача 3. Как использовать этот же принцип для умножения на 8, на 16 и т.д.? Числа в этом "и т. д." называются "степени двойки". Первая степень - 2, вторая - 4, третья - 8... Продолжайте этот ряд, пока не надоест. А какая степень двойки - число 64? Ответ на этот вопрос называется, на математическом языке, "нахождением логорифма числа 64 по основанию 2".
Так что для умножения на два и четыре зубрить ничего не надо. Как и для умножения на восемь, но это уже знаимает три шага (потому что восемь - третья степень двойки, смотри Задачу 3), так что умножение на 8 мы прибережем для другого трюка. А пока, давайте закрасим факты, от зубрежки которых нас спасает удвоение и умножение на 4 с помощью удвоения, светло-голубым:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1*1=1 1*2=2 1*3=3 1*4=4 1*5=5 1*6=6 1*7=7  1*8=8 1*9=9 1*10=10
2 2*1=2 2*2=4  2*3=6  2*4=8 2*5=10 2*6=12 2*7=14 2*8=16 2*9=18 2*10=20
3 3*1=3 3*2=6 3*3=9  3*4=12 3*5=15  3*6=18 3*7=21  3*8=24 3*9=27 3*10=30
4 4*1=4 4*2=8 4*3=12 4*4=16  4*5=20 4*6=24 4*7=28 4*8=32 4*9=36  4*10=40
5 5*1=5 5*2=10 5*3=15  5*4=20  5*5=25  5*6=30  5*7=35 5*8=40 5*9=45 5*10=50
6 6*1=6 6*2=12 6*3=18 6*4=24 6*5=30 6*6=36 6*7=42 6*8=48 6*9=54 6*10=60
7 7*1=7 7*2=14 7*3=21 7*4=28 7*5=35 7*6=42 7*7=49 7*8=56 7*9=63 7*10=70
8 8*1=8 8*2=16 8*3=24 8*4=32 8*5=40 8*6=48 8*7=56 8*8=64 8*9=72 8*10=80
9 9*1=9 9*2=18  9*3=27  9*4=36 9*5=45 9*6=54 9*7=63 9*8=72 9*9=81 9*10=90
10 10*1=10 10*2=20  10*3=30  10*4=40  10*5=50  10*6=60  10*7=70  10*8=80
 		 10*9=90  10*10=100
Смотрите, как мало осталось темных клеточек в таблице - зато впереди много интересной математики. До встречи в третий день.

День 3

Универсальный способ и умножение на 5 ...и остается 10 клеточек!

Результаты умножения на пять можно научиться быстро добывать без зубрежки, причем несколькими разными способами. То есть можно выбрать для использования самый симпатичный вам способ.
Делить пополам (поровну) почти так же легко, как удваивать. Вывод: чтобы умножить на пять, умножайте на десять и потом делите на два. Например, пять умножить на восемь равно половине от восьмидесяти. Пять умножить на четыре равно половине от сорока.
Задача 4. А почему, собственно, мы "имеем право" так делать? С математической точки зрения...
Еще один способ умножения числа на пять: если число четное, приписываем ноль к половине числа. Если число нечетное, приписываем пять к половине предыдущего числа. Например, чтобы умножить восемь на пять, приписываем ноль к половине от восьми. Чтобы умножить семь на пять, приписываем пять к половине от шести.
Задача 5. Почему этот способ работает? Чем он отличается от первого способа? (Подсказка: ничем! С математической точки зрения...)
А вот обещанный универсальный способ умножения. Он работает для всех без исключения чисел, но для большинства из них слишком медленно. Просто считаем не по одному "Один, два, три..." а по числу, которое умножаем, столько раз, на сколько умножаем. Попробуйте это сделать для 7*8: "Семь, четырнадцать, двадцать один, двадцать восемь, тридцать пять, сорок два, сорок девять, пятьдесят шесть" Трудно, правда ведь? И медленно... А теперь попробуйте 5*8: "Пять, десять, пятнадцать... ...сорок". Просто и быстро!
Задача 6, психологическая. Как вы думаете, почему людям легко считать пятерками?
Кстати, тройками тоже считать нетрудно: три, шесть, девять... (почему, как вы думаете?). В конце третьего дня перекрасим свето-фиолетовым клеточки, которые теперь можно не зубрить: все умножение на пять и умножение на три. Вот что останется:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1*1=1 1*2=2 1*3=3 1*4=4 1*5=5 1*6=6 1*7=7  1*8=8 1*9=9 1*10=10
2 2*1=2 2*2=4  2*3=6  2*4=8 2*5=10 2*6=12 2*7=14 2*8=16 2*9=18 2*10=20
3 3*1=3 3*2=6 3*3=9  3*4=12 3*5=15  3*6=18 3*7=21  3*8=24 3*9=27 3*10=30
4 4*1=4 4*2=8 4*3=12 4*4=16  4*5=20 4*6=24 4*7=28 4*8=32 4*9=36  4*10=40
5 5*1=5 5*2=10 5*3=15  5*4=20  5*5=25  5*6=30  5*7=35 5*8=40 5*9=45 5*10=50
6 6*1=6 6*2=12 6*3=18 6*4=24 6*5=30 6*6=36 6*7=42 6*8=48 6*9=54 6*10=60
7 7*1=7 7*2=14 7*3=21 7*4=28 7*5=35 7*6=42 7*7=49 7*8=56 7*9=63 7*10=70
8 8*1=8 8*2=16 8*3=24 8*4=32 8*5=40 8*6=48 8*7=56 8*8=64 8*9=72 8*10=80
9 9*1=9 9*2=18  9*3=27  9*4=36 9*5=45 9*6=54 9*7=63 9*8=72 9*9=81 9*10=90
10 10*1=10 10*2=20  10*3=30  10*4=40  10*5=50  10*6=60  10*7=70  10*8=80
 		 10*9=90  10*10=100
Осталось немного клеточек, но зато - самые трудные, говорите вы? В следующий день вы с ними одним махом расправимся!

День 4

Трюки на пальцах ...И все клеточки закрашены!

Этот очень красивый трюк пришел откуда-то с Востока, как и многие другие замечательные математические идеи (например, идея нуля). Предполагается, что умножать числа от двух до пяти вы уже умеете (чтобы научиться, можно воспользоваться идеями первых трех дней). На пальцах будем перемножать числа от шести до девяти.
Пронумеруйте пальцы обеих рук: большие - 5, указательные - 6, средние - 7, безымянные - 8, мизинцы - 9. Для начала можно написать цифры на ногтях фломастером. Положите руки перед собой на стол ладонью вниз - и "аналоговый копьютер" готов! Скажем, умножаем 7*8: сведите палец номер 7 на левой руке и палец номер 8 на правой, положите эти касающиеся пальцы вдоль края. Свисающие пальцы (2 на левой руке и 3 на правой) считаем десятками - 50.
Пальцы на столе перемножаем: 3 с левой руки умножить на 2 с правой - получается 6, вот и ответ: 7*8=56. Еще пример: 9*8. Касаемся пальцами номер 9 на левой и номер 8 на правой руках. Перед касающимися пальцами осталось 7 пальцев (4 на левой, 3 на правой) - это 70. Остальные перемножаем: 1 на левой на 2 на правой - получается 2, и ответ - 72. То есть пальцы перед касающимися двумя всегда считаем десятками, а остальные перемножаем левую руку на правую. После третьего-четвертого умножения получается очень быстро и ловко.
Задача 7. Почему этот трюк работает? Мы знаем три разных доказательства - а может, вам удастся найти не только их, но и другие доказательства?
Давайте теперь перекрасим клеточки с результатами, которые мы можем добыть из последнего трюка, в светлый оранжевый цвет. Вот это да! Зубрить-то ничего и не осталось - вся тая закрашена! Это значит что мы наконец то выучили таблицу умножения.
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1*1=1 1*2=2 1*3=3 1*4=4 1*5=5 1*6=6 1*7=7  1*8=8 1*9=9 1*10=10
2 2*1=2 2*2=4  2*3=6  2*4=8 2*5=10 2*6=12 2*7=14 2*8=16 2*9=18 2*10=20
3 3*1=3 3*2=6 3*3=9  3*4=12 3*5=15  3*6=18 3*7=21  3*8=24 3*9=27 3*10=30
4 4*1=4 4*2=8 4*3=12 4*4=16  4*5=20 4*6=24 4*7=28 4*8=32 4*9=36  4*10=40
5 5*1=5 5*2=10 5*3=15  5*4=20  5*5=25  5*6=30  5*7=35 5*8=40 5*9=45 5*10=50
6 6*1=6 6*2=12 6*3=18 6*4=24 6*5=30 6*6=36 6*7=42 6*8=48 6*9=54 6*10=60
7 7*1=7 7*2=14 7*3=21 7*4=28 7*5=35 7*6=42 7*7=49 7*8=56 7*9=63 7*10=70
8 8*1=8 8*2=16 8*3=24 8*4=32 8*5=40 8*6=48 8*7=56 8*8=64 8*9=72 8*10=80
9 9*1=9 9*2=18  9*3=27  9*4=36 9*5=45 9*6=54 9*7=63 9*8=72 9*9=81 9*10=90
10 10*1=10 10*2=20  10*  http://www.virastayka.ru/publish/kids/kids-education/math-and-science/3603-kak_uchit_tablicu_umnojeniya.rss
Автор: на Комментариев нет:

Умножение на палочках и точечках

http://vkontakte.ru/video21435004_153204229
Автор: на Комментариев нет:

Таблица умножения, квадратов и степеней

Настало время немного заняться математикой. Вы еще помните, сколько будет, если два умножить на два? Если кто забыл - будет четыре. Кажется, что таблицу умножения помнят и знают все, однако же, я обнаружил огромное количество запросов к Яндексу типа "таблица умножения" или даже "скачать таблицу умножения"(!). Именно для этой категории пользователей, а также для более продвинутых, которых уже интересуют еще и квадраты и степени, выкладываю все эти таблицы. Можете даже качать на здоровье! Итак:

Таблица умножения

(целые числа от 1 до 20)
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Таблица квадратов

(целые числа от 1 до 100)
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100		 112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400		 212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900		 312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600		 412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600		 612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
702 = 4900		 712 = 5041
722 = 5184
732 = 5329
742 = 5476
752 = 5625
762 = 5776
772 = 5929
782 = 6084
792 = 6241
802 = 6400		 812 = 6561
822 = 6724
832 = 6889
842 = 7056
852 = 7225
862 = 7396
872 = 7569
882 = 7744
892 = 7921
902 = 8100		 912 = 8281
922 = 8464
932 = 8649
942 = 8836
952 = 9025
962 = 9216
972 = 9409
982 = 9604
992 = 9801
1002 = 10000

Таблица степеней

(целые числа от 1 до 10)

1 в степени:
11 = 1
12 = 1
13 = 1
14 = 1
15 = 1
16 = 1
17 = 1
18 = 1
19 = 1
110 = 1

2 в степени:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024

3 в степени:
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2187
38 = 6561
39 = 19683
310 = 59049

4 в степени:
41 = 4
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1024
46 = 4096
47 = 16384
48 = 65536
49 = 262144
410 = 1048576

5 в степени:
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
55 = 3125
56 = 15625
57 = 78125
58 = 390625
59 = 1953125
510 = 9765625

6 в степени:
61 = 6
62 = 36
63 = 216
64 = 1296
65 = 7776
66 = 46656
67 = 279936
68 = 1679616
69 = 10077696
610 = 60466176

7 в степени:
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
75 = 16807
76 = 117649
77 = 823543
78 = 5764801
79 = 40353607
710 = 282475249

8 в степени:
81 = 8
82 = 64
83 = 512
84 = 4096
85 = 32768
86 = 262144
87 = 2097152
88 = 16777216
89 = 134217728
810 = 1073741824

9 в степени:
91 = 9
92 = 81
93 = 729
94 = 6561
95 = 59049
96 = 531441
97 = 4782969
98 = 43046721
99 = 387420489
910 = 3486784401

10 в степени:
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000
106 = 1000000
107 = 10000000
108 = 100000000
109 = 1000000000
1010 = 10000000000
Автор: на Комментариев нет:

[5..10]*[5..10] на пальцах

Устный счет на пальцах

echo методов много, выкладывать по мере нахождения )
echo таблицу умножения никто не отменяет )

Умножение чисел 1-10 на 9

Перед нами десять пальцев, ладонями к себе для удобства, от 1 до 10
загибаем тот, палец, который мы хотим умножить на 9, например 4й, всё что слева от загнутого это десятки, всё что справа единицы.
слева (от 4го пальца) у нас 3 пальца т.е. 3 десятка, справа 6 пальцев, ответ 36

Умножение любых двух множителей от 5 до 10 (Взято из Яндекса)

Рука со сжатым кулаком обозначает цифру 5.
каждый разогнутый палец добавляет к этой цифре 1. Таким образом, если вы разогнули 2 пальца на левой руке, то левая рука обозначает цифру 7.
теперь каждая рука представляет собой множитель от 5 до 10.

Теперь как получить произведение двух чисел, которые символизирует каждая рука?
Для итогового результата каждый разогнутый палец на каждой из ваших рук равен 10. Поэтому посчитайте разогнутые пальцы на обеих руках, умножьте их число на 10 и запомните результат.
Теперь, сосчитайте согнутые пальцы на каждой руке. Умножьте их числа.
Чтобы получить итог, сложите полученные два числа.
Поясню на примере:
Допустим, мы хотим умножить 6 и 8.
Сжимаем руки в кулаки. На одной разгибаем 1 палец – это 6. На другой руке разгибаем три пальца – это 8.
Теперь у нас 4 разогнутых пальца. По предложенному правилу, умножаем их число на 10 и запоминаем 40. Думаю умножение не составит труда!
Также на первой руке у нас осталось 4 согнутых пальца и на второй – 2 согнутых пальца. Умножим их числа 4⋅2=8. Думаю, тут тоже не сложностей не возникнет!
Последний шаг – складываем 8 и 40. В результате получаем 48. Проверьте? Правильно?
Как видите, все вычисления легко производятся в уме.
Почему же это работает?
Очень просто. Обозначим за x и y числа разогнутых пальцев на руках. Таким образом, нам надл вычислить

(x+5)(5+y)=
Раскроем скобки и получим:

25+5x+5y+xy=
Сделаем равносильное преобразование:

25+10x-5x+10y-5y+xy=
Переупорядочим члены, для наглядности я расставил скобки:

(10x+10y)+(25-5x)+(-5y+xy)=
Получим:

10(x+y)+5(5-x)-y(5-x)=
Теперь применим дистрибутивное свойство:

10(x+y)+(5-x)(5-y)
Итак, что мы получили? Видим, что 10(x+y) – число разогнутых пальцев умноженное на 10. А (5-x)(5-y) – число полученное умножением чисел согнутых пальцев каждой руки.
Вот и все O__o
Автор: на Комментариев нет:
Ярлыки: ,

правила_быстрого_устного_счета

тест для начальных классов «как быстро умножить на 11 любое двузначное число» ab*11=a(a+b)b примеры 34*11=3(3+4)4=374 17*11=1(1+7)7=187 частные случаи если (a+b) двузначное число, то по-середине пишем (a+b-10) а к первой цифре прибавляем 1: ab*11=(a+1)(a+b-10)b примеры 47*11=(4+1)(4+7-10)(7)=517 95*11=(9+1)(9+5-10)5=1045 ps синтаксис пока не осилю, как-то раньше не сталкивался
далее из учебника в инете копирую так же, без синтаксиса для обработки
БЫСТРЫЙ СЧЕТ Тридцать простых приемов устного счета
От составителя
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений. Умножение на однозначное число § 1.
Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20×8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Еще примеры:
34*7=30*7+4*7=210+28=238
17*6=40*6+7*6=240+42=282 § 2.
Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176 § 3
Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350 Умножение на двузначное число § 4
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6*28=28*6=120+48=168 § 5.
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29*12=29*10+29*2=290+58= 348
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами. § 6.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
45*14 =90*7=630 Умножение на 4 и на 8 § 7.
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112*4 =224*2=448
335*4 = 670*2 =1340 § 8.
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217*8 = 434*4=868*2=1736
(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736. Деление на 4 и на 8 § 9.
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76:4 =38:2=19
236:4=118:2=59 § 10.
Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464:8=232:4=116:2=58
516:8=258:4=129:2= 64 1/2 Умножение на 5 и на 25 § 11.
Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
74*5= 740:2= 370
243*5=2430:2=1215
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74*5 = 74/2*10=370 § 12.
Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
72*25=72/4*100= 1800
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
при остатке: к частному
1 25
2 50
3 75
Основание приема ясно из того, что
100:4=25;
200:4=50;
300:4=75 Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4 § 13.
Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:
34*11/2 = 34 + 17=51
23*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5) § 14.
Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть. Например:
48*11/4 =48 +12=60
58*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5 § 15
Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
Например: 18*21/2.=36+9= 45;
39*21/2.= 78 + 191/2.= 971/2 (или 97,5)
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
18*21/2 = 90:2 = 45 § 16.
Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам. Например:
30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)
Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины. Умножение на 15, на 125, на 75 § 17
Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, (потому что 10*11/2 =15) Например:
18*15=18*11/2*10=270
45*15=450+225=675 § 18.
Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125). Например:
26*125 = 26*100*11/4 = 2600 + 650 = 3250
47*125 = 47*100*11/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875 § 19.
Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75). Например:
18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 + 900)/2=1350
Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6
18*15 = 90*3 = 270
26*125 = 130*25 = 3250 Умножение на 9 и на 11 § 20.
Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62*9=620-62=600—42=558
73*9=730-73=700—43=657 § 21
Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87*11=870+87=957 Деление на 5, на 11/2,на 15 § 22
Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:
68:5=136:10=13,6
237:5 =474:10=47,4 § 23
Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3. Например:
36:11/2=72:3=24
53:11/2=106:3=351/3 § 24.
Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например
240:15=480:30=48:3=16
462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8) Возвышение в квадрат $ 25.
Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
252; 2*3=6; 625
452; 4*5= 20; 2025
1452; 14*15 = 210; 21025
Прием этот вытекает из формулы (10х+5)2 = 100х2+100х+25=100х(х+1)+25 § 26.
Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
8,52 = 72,25
14,52=210,25
0,352 = 0,1225f и т. п. § 27.
Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:
(8½ )2 =72 ¼
(14½)2 = 210 ¼ и т п. § 28.
При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)2 = a2 +b2+- 2ab.
Например: 412=402 +1+2*40= 1601+80= 1681
692=702+1-2*70=4901-140=4761
362 =(35+1)2=1225+1+ 2*35=1296
Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9. Вычисления по формуле
(а+b) (а-b) = а2 — b2 § 29.
Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48
Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)
и применяем приведенную в заголовке формулу:
(50+2)*(50—2)=502-22= 2496
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
69*71=(70—1)*(70+1)=4899
33*27=(30+3)*(30—3)=891
53*57=(55—2)*(55+2)=3021
84*86=(85-1)*(85+1)=7224 § 30.
Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 ¾
11 3/4*12 1/4= (12 - 1/4)*(12 +1/4) =143 15/16 Полезно запомнить:
37*З =111
Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.
37*6=37*3*2=222
37*9=37*3*3=333
37*12=37*3*4=444
37*15=37*3*5 =555 и т. д,
7*11*13=1001
Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:
77*13=1001
77*26=2002
77*39=3003 и т. д.
91*11=1001
91*22=2002
91*33=3003 и т. д.
143*7=1001
143*14=2002
143*21=3003 и т. д.
…указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.
ps если вы хотите себя проверить, попробуйте посчитать факториалы чисел. Мои школьные потуги это факториал от 14, это уже на память и оптимизацию игра, долго ))) в лоб, без изучения мнемонических техник, о которых, я уверен, также будет статья
Автор: на Комментариев нет:

Признаки делимости

Часто можно определить, делится ли одно число на другое, не выполняя собственно деления. Иногда это бывает полезно
Некоторые замечания:
0 делится на любое число без остатка (получается 0).
На 1 делятся все числа без остатка.

Признак делимости на 2

Число делится на два, ели его последняя цифра делится на два. То есть заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
/Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся — нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не делится.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и исходное число делится на 3. Если вы не можете определить, делится ли сумма цифр на 3, то операцию можно повторить.
Пример: 3873846394508792957820. Сумма цифр = 117. Сумма цифр суммы цифр = 9 — делится на 3, следовательно 117 делится на 3 ⇒ исходное число делится на 3

Признаки делимости на 4
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится. 

Признак делимости на 5

Число делится на пять, если заканчивается на цифру делящуюся на 5. То есть на 0 или 5.
Другие — не делятся.

Признаки делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае — не делится.

Признаки делимости на 8
Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях — не делится. 

Признак делимости на 9

Число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять. Если продолжать складывать цифры получившихся чисел, то в итоге получим 9.
Пример: 9483837264153. Сумма цифр равна 63, 6+3=9 ⇒ исходное число делится на 9.

Признак делимости на 10, 100 ... 10^n

Если число заканчивается на 0, то оно делится на 10. Если число заканчивается на 00, то оно делится на 100. В общем, если число заканчивается на n нулей, то оно делится на 10n (1[n нулей])

Признак делимости на 11

Если сумма цифр, стоящих на нечетных позициях в числе минус сумма цифр, стоящих на четных позициях, делится на одиннадцать, то число делится на 11.
Пример: 121. 1+1 - 2 = 0 (делится на 11) ⇒ исходное число делится на 11.
16151927. 6+5+9+7 - 1+1+1+2 = 27 - 5 = 22 (делится на 11) ⇒ исходное число делится на 11
 Признаки делимости на 25
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.


  1. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на 11.
  2. Число делится на 7, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 7.
  3. Число делится на 13, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 13.
  • Остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления на 11 знакопеременной суммы его цифр (последняя цифра со знаком +)
  • Остаток от деления числа на 7 равен остатку от деления на 7 знакопеременной суммы чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +).
  • Остаток от деления числа на 13 равен остатку от деления на 13 знакопеременной суммы чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +).
Признаки делимости
      Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n - 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n - 1.

Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр - нули.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.
Автор: на Комментариев нет:

Интернетные источники

http://www.zaba.ru/

http://www.math-on-line.com/   Онлайн учебный центр, Математика олимпиады, игры конкурсы для школьников, 5-8 классы,учебные пособия, каталог, математика,геометрия, логика, комбинаторика, арифметика,алгера,олимпиада Кенгуру

http://ru-olymp-math.livejournal.com/   Олимпиадная математика

http://aimakarov.chat.ru/school/school.html   Школьные олимпиады по математике г. Новосибирск

http://math.olymp.mioo.ru/course/category.php?id=24
Задачи международных математических олимпиад с решениями


http://mathworld.ru/taxonomy/term/3   Мир математики

http://funnymath.ru/

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/pastime/puzzles.htm


http://udivit-matem.narod.ru/str2.html




Автор: на Комментариев нет:
Подписаться на: Сообщения (Atom)